Задача 1. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться следующим известным утверждением: сумма любого числа четных чисел – четная, а нечетного числа нечетных чисел – нечетная. В нашем случае исходная сумма денег (сумма какого-то числа 50-долларовых и 100-долларовых купюр) – четная, а полученная сумма денег (сумма 1999 купюр по 1, 5 и 25 долларов) – нечетная.Задача 2. Шесть землекопов за 2 часа выкопают 3 · 2 = 6 ям. Шесть землекопов за 10 часов выкопают 6·5=30 ям. Тогда шесть землекопов за 5 часов выкопают 30 : 2 = 15 ям.Задача 3.Разделим дорогу от дома к речке на три участка одинаковой длины (см. рисунок) и эту длину примем за 1.
Введем новую единицу измерения – «шарик»; по определению, 1 «шарик» – это время, нужное Шарику, чтобы утром по дороге на речку пробежать участок длины 1.
По условию, когда Матроскин добегает до D (начинает умываться), Шарик как раз находится в точке B (ведь он бежит в 3 раза медленнее Матроскина). Следовательно, на дорогу от дома до речки (так же, как и на обратную дорогу) Матроскин затрачивает столько же времени, сколько нужно Шарику, чтобы пробежать отрезок длины 1, т. е. 1 «шарик».
Матроскин умывается 8 «шариков» (действительно, в тот день, когда Шарик забыл полотенце, он, как всегда, добежал до точки B, а Матроскин в этот момент начал умываться, затем Шарик пробежал 8 раз отрезок длины 1: от B к D (два участка длины 1), от D к A(три участка длины 1) и, наконец, от A к D уже с полотенцем (три участка длины 1), - и как раз Матроскин в этот момент умываться закончил). Далее, так как по условию Матроскин моется в два раза дольше Шарика, то Шарик моется 4 «шарика».
Остается подсчитать время, затраченное каждым из наших героев на дорогу от дома к речке, умывание и дорогу обратно, от речки к дому. Шарик: 3 + 4 + 3 = 10 «шариков»; Матроскин: 1+8+1=10 «шариков». Следовательно, Матроскин и Шарик прибегают домой после умывания одновременно.
Задача 4. Пусть в каждой партии выдают партийные билеты. Если в цветочном городе k партий, то на руках у населения не менее 3k партийных билетов (ведь в каждой партии по условию не менее 3-х членов). Но у каждого коротышки имеется не более 2-х партийных билетов (по условию каждый коротышка не может быть членом более 2-х партий). Следовательно, так как коротышек 14, всего партийных билетов не более 2 x 14 = 28 .
Поэтому 3k Ј 28, т. е. k Ј [28/3] = 9.
Остается привести пример вхождения 14 коротышек в 9 партий такой, чтобы:
1) в каждой партии было не меньше 3 членов;
2) каждый коротышка являлся бы членом не более 2-х партий;
3) никакие две разные партии не состоят из одних и тех же членов (при выводе оценки k Ј 9 мы использовали только условия 1) и 2)).
Пронумеруем коротышек числами от 1 до 14. Условимся коротышек, входящих в какую-либо партию, заключать в фигурные скобки {}. Нужный пример иллюстрируют, например, партии: {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {10,11,12}, {13,14,1}, {2,3,4}, {5,6,7}, {8,9,10}, {11,12,13}.
Всего 9 партий.
Задача 5. Начертим круг, отметим на нем 30 палочек и пронумеруем их от 1 до 30. Начиная счет с цифры 1, перечеркиваем девятую палочку, затем восемнадцатую, затем двадцать седьмую и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из не перечеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 30. Значит, купец просил матросов расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.Задача 6. Обозначим искомое число лоскутков белого цвета через x. Тогда лоскутков черного цвета будет 32 - x. Чтобы составить уравнение, подсчитаем двумя способами количество границ белых лоскутков с черными. Каждый белый лоскут граничит с тремя черными, следовательно, число границ равно 3x. С другой стороны, каждый черный лоскут граничит с пятью белыми и число границ равно 5(32 – х). Получаем уравнение 3x = 5(32 – х), т.е. 8х = 160 и х = 20.
Задача 7. За 10 мин машина проходит путь, равный двойному расстоянию от станции до места встречи инженера с машиной. Значит, путь от станции до места встречи машина проходит за 5 мин. На месте встречи машина была за 5 мин до времени обычного приезда инженера на станцию, значит, путь от станции до места встречи инженер шел 55 мин - 5 мин = 50 мин. Следовательно, скорость инженера в 50 : 5 = 10 раз меньше скорости машины.
Задача 8. Скорости поездов одинаковы, поэтому за одно и тоже время они проходят одно и тоже расстояние. Из сказанного выше следует, что в город прибудут в течение одного часа только дачные поезда встречающиеся в первой половине часа (30 минут), а дачные поезда встречающиеся во второй половине часа не будут успевать доходить до города за оставшееся время.
Значит, в течение одного часа в город прибывает 30 : 5 = 6 дачных поездов.
Задача 9. а) Покажем, что у 40% драконов может быть 60% голов. Пусть в этом царстве живет 100 драконов: 40 драконов с одной головой, 20 – с двумя головами и 40 – с тремя. Тогда число голов у всех драконов равно 40 • 1 + 20 • 2 + 40 • 3 = 200. При этом все 40 трехглавых драконов, что составляет 40% от общего числа драконов, имеют 40 • 3 = 120 голов, что составляет 120/200 • 100% = 60% от общего числа голов.
б) Пусть число драконов равно х, а общее число голов у них равно у. Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов. Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, то 0,7у Ј 3 • 0,4х. С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеют 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, то 0,6х Ј 0,3y. Но эти неравенства не могут выполняться одновременно, так как они равносильны соответственно 7у Ј 12х и 12x Ј 6у. Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.
Задача 10. Пусть у Бори х марок. Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13. Следовательно, поскольку 7,11 и 13 – простые числа, то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001. Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k +5 .
Далее, согласно условию х – 6 делится на 23. Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m. В результате, получим
1001k – 1 =23m. (*)
Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству. При этом, поскольку согласно условию х/7<1000 и, значит, х<7000, то достаточно рассмотреть k = 1,2,..., 6. Нетрудно убедиться, что только при k = 2 из уравнения (*) получится натуральное значение m = 87.
Поэтому находим единственное значение х = 1001•2 + 5 = 2007.