Математика для детей дошкольного и школьного возраста

Олимпиада по математике, 11 класс

1. (3) В место a, b, c вставьте такие числа, чтобы равенство (x + a x +2)(x +3)= (x + b )(x + c x + 6 ) стало тождеством.

2. (4) Решите систему уравнений

3. (5) Докажите, что для любых положительных x и y, для любого α
... Читать дальше »

1. Найдите три последние цифры суммы

1! + 2! + 3! + ... + 1998!

2. Найдите все натуральные числа n, при которых уравнение

х2 - 7nх + 150 = 0

имеет два целых корня.

3. Точки A2 , B2 и C2 – середины высот AA1 , BB1 и CC1 остроугольного т ... Читать дальше »

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция. (7баллов)
Найдите все решения уравнения: .(7баллов)
В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соед ... Читать дальше »

1.(2б) Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

Решение

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем мно ... Читать дальше »

1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.

Задача 1. Решите уравнение:

.

Решение:

Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:

;
... Читать дальше »

№1

Найдите производную функции:



10 баллов

№2

Решить неравенство:



15 баллов

№3

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ... Читать дальше »

Вычислите:

.

Решите уравнение:

(х-2)(х-3)(х+4)(х+5)=1320.

При каком целом к неравенство х+2(4к-1)х+15к-2к-7>0 верно при любом действительном х?
Дан квадрат, сторона которого равна а. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, образованной дуга ... Читать дальше »

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?



Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 ... Читать дальше »

На выполнение работы отводится 3 астрономических часа.

Задание части А: за каждый правильный ответ — 1 балл (всего 10 баллов).

Задание части В: Задание 1, 2, 3, 4 – по 3 балла (по 0,5 за каждую правильно указанную букву (А или Б) рядом с цифрой).

Задание части ... Читать дальше »

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+9 ... Читать дальше »

10.1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

Решение. Пусть изначально были числа x ... Читать дальше »

Олимпиадные задания по математике 10-11 классы

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?



О ... Читать дальше »

В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у ... Читать дальше »

Докажите, что для любых чисел a, b, c, принадлежащих отрезку [0, 1], выполните неравенство

(a + b + c + 1)2 4(a2 + b2 + c2).

Решить систему уравнений

В окружность с центром О вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстоя ... Читать дальше »

Решите уравнение

В ответе укажите целый корень. (2б)

Решение:



Ответ:1.

Решите систему уравнений

(2б)

Решение:

Пусть , xy=b, тогда



Имеем

Ответ: (3;1), (1;3). ... Читать дальше »

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения ра ... Читать дальше »

Сократить дробь: .

(2б)

Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

(2б)

Докажите, что если сум ... Читать дальше »

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 … 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого нату ... Читать дальше »

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Туристам-байдарочникам нужны восемь одинаковых «сидушек» – мягких ковриков длиной не менее 35 см и шириной не менее 20 см. В спортивном магазине продаются большие коврики длин ... Читать дальше »

1. Решить уравнение ( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12

Решение. Раскрывать скобки не имеет смысла, так как получится уравнение четвертой степени. В таких случаях применяется метод подстановки, ведь в скобках присутствует одинаковый блок х 2 + 6 х .

Обозначая х 2 + 6 х = ... Читать дальше »

Сравните числа и 10. (7баллов)

Известно, что и ; ; ; и т.д. (рис. 1). Тогда длина отрезка равна…(7баллов)

Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя? (7баллов)
Решить неравенство: .(7баллов)
Стрелок дес ... Читать дальше »

Вычислите: .

Постройте график функции: у = .
Решите неравенство:

+ < х – 1.

Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 10 пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 10 пустых маленьких. Всего оказалось 109 коробок. Сколько с ... Читать дальше »

1.Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

2. ... Читать дальше »

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого с ... Читать дальше »

Задача 1.

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук мен ... Читать дальше »

№1

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

№2

Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

№3

Работник заключил контракт на меся ... Читать дальше »

Найдите значение выражения , если .
Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?
Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?
Работник заключил контракт на месяц на следующих ус ... Читать дальше »

Олимпиада (8 класс - сентябрь).

1. На Олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них золотых и бронзовых вместе – 65, а золотых и серебряных – 61. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей получили они в отдельности?

2. Как без помощи инструментов можн ... Читать дальше »

1. Числитель дроби увеличили на 5, а знаменатель – на 2 (числитель и знаменатель – целые положительные числа). При этом значение дроби уменьшилось. Приведите пример, как такое могло произойти. Ответ. Например, 10/3.

Комментарий. Подойдет любая дробь, большая чем 5/2.

2. Дан ... Читать дальше »

Сократите дробь:

Решение

Найдите такие и , при которых для всех допустимых значений x верно

Решение

Допустимыми значениями x являются все числа, кроме x=1.

Из последнего равенства следует, что , .

Поставьте знак между неко ... Читать дальше »

Если между цифрами двухзначного числа х вписать тоже число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль, потом уплатил второму купцу половину о ... Читать дальше »

Задание №1

Переведите на русский язык греческие слова - моно, ди, поли и латинские - уни, би, мульти

Задание №2

Люди какой профессии постоянно смотрят на 5 параллельных линий ?

Задание №3

Задание №4

Задание №5

... Читать дальше »

Задания для участников.

1. От квадрата отрезали один угол. Сколько углов осталось? (3балла)

2. Определи, какие числа надо записать вместо звёздочек, чтобы результат был верным? (4 баллов)

__ 6*5* *4*

*8*4 2*9

2856 1011

3. ... Читать дальше »

1. Даны числа 1, 2, 3,4,5,6. Разрешено к любым двум из них прибавить по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?

Решение. Прибавление к числу единицы меняет его чётность. Прибавление по 1 к двум числам меняет чётность двух чисел. Если это были два чётных числа, то чётных ... Читать дальше »

1 часть: выбрать ответ из четырёх возможных.

А1. Укажите, какое число является корнем уравнения: 3х – 6 = х +4

а) -5 б) 1 в) 5 г) -1

А2. Вычислить: 2 – 2

а) 2 б) 16 в) 4 г)8

А3 .Упростить выражение: 4п х 0,3п

а) 0,12п б) 0 ... Читать дальше »

1.Задание (3 балла)

2.Задание (4 балла)

Какой многоугольник не может получиться при пересечении двух

треугольников?

(A) треугольник

(Б) четырехугольник

(В) пятиугольник

(Г) шестиугольник

(Д) любая ... Читать дальше »

На покраску крышки израсходовали 30 г краски.

Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ.

В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял ... Читать дальше »

Две лошади начали пить воду из одного бака, до верху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?

6 баллов)

Замените буквы цифрами так, чтобы получилось ве ... Читать дальше »

1. Как изменится величина дроби, если числитель увеличить на 300 %, а знаменатель уменьшить на 50 %.

2. Чему равна градусная мера угла А, если его биссектриса образует с одной из его сторон угол, в три раза меньший угла, смежного с углом А.

3. Две машины едут по трассе скор ... Читать дальше »

1. Между цифрами 1, 2 , 3 , 4, 5 поставь знаки действий так, чтобы результат был равен 9. (2 балла.)

2. Решите уравнение

(2х² + 5х - 3) - 2( х² + х + 4) = 0 ( 4 балла)

3.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не п ... Читать дальше »

№ 1. Торговка, сидя на рынке, соображала: «Если бы к моим яблокам прибавить половину их да еще десяток, то у меня была бы целая сотня!». Сколько яблок у нее было? (2 балла)

№ 2. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Изв ... Читать дальше »

Дан прямоугольник АВСК, где А(-4; -1), В(3; -1), С(3; 5), К(-4; 5). Задайте с помощью двойного неравенства: а) множество абсцисс всех точек прямоугольника;

б)множество ординат всех точек прямоугольника

(4 б)

Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя ... Читать дальше »

Верно ли высказывание: сумма двух натуральных чисел кратна каждому из слагаемых?

А) да

Б) нет

Г) нет однозначного ответа

2. Сколько вариантов различных флагов из трёх горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы четырех цвет ... Читать дальше »

6 класс.

1. На участке дороги идет ремонт. Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром. На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

Выбрать ответ и обосновать.
(A)3 км; (B) 5 км; © 6 км; (D) 10 км; (E)Нев ... Читать дальше »

Вариант 1.

Решите уравнение:
Собственная скорость катера 20,4 км/ч, а скорость течения реки 2,5 км/ч. По течению реки катер шел 1,5 ч, а против течения- 1,8 ч. Сколько всего километров прошел катер?
Требуется разрезать по клеточкам, изображенную на рисунке фигуру на нескол ... Читать дальше »

1. Решите уравнение: 0,5∙ (х + 3) = ∙ (11 - х).

2. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше и меньше 1.

3. Переложите одну из семи спичек, изображающих число , записанное римскими цифрами (т. е. ) так, чтобы получившаяся дробь равнялась .

4. Возраст ... Читать дальше »

Каждая задача оценивается в 5 баллов.

Найдите цифры, вместо которых стоят звездочки:

* 8 *

4 * 2

-------

7 * 0

* * *

* * * *

--------------

* * * * 2 *

На одной чаше весо ... Читать дальше »

1.Задание(3 балла)

2.Задание (4 балла)

3.Задание (4 балла)

4.Задание (4 балла)

Какой многоугольник не может получиться при пересечении двух

треугольников?

(A) треугольник

(Б) четырехугольник

(В) п ... Читать дальше »

Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено правильно:

73*8

+ **46*

9*36

97125

2. Квадрат состоит из 9 равных квадратов. Сколько всего квадратов?



Три одинаковых арбуза надо разделить по ... Читать дальше »

Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт. (3 балла)
Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке? (3 балла)
Было 9 листов бумаги ... Читать дальше »