10.1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?
Решение. Пусть изначально были числа x и y (с произведением xy). После того как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось (x+1)(y−1) = xy+y−x−1. Произведение увеличилось на 2011, то есть y − x − 1 = 2011 или y−x = 2012. Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится (x−1)(y+1) = xy−y+x−1. Заметим, что xy−y+x−1 = xy−(y− x)−1 = xy−2012−1 = xy−2013.То есть произведение уменьшилось на 2013.
Ответ. Уменьшится на 2013.
Рекомендации по оцениванию:
1. Верное обоснованное решение – 7 баллов,
2. Верный ответ без обоснования (или разобранный пример какой-то пары чисел) — 3 балла,
3. Несущественная арифметическая ошибка при правильном решении — снимать не более 2 баллов.
10.2. Парабола y = ax2 высекает на прямых y = 1, y = 2, y = 3 три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.
Решение. Поскольку график пересекает прямые, a > 0. Заметим, что прямая y = c (c > 0) пересекает данную параболу в точках, симметричных относительно оси ординат, поэтому данные в условии отрезки имеют длины 2x1, 2x2, 2x3, где x1, x2, x3 — положительные корни уравнений ax2=1, ax2=2, ax2 = 3. Значит, сумма квадратов длин первых двух отрезков равна (2x1)2+(2x2)2=4·(1/a)+4·(2/a)=4·(3/a). Значит, эта сумма равна квадрату длины третьего отрезка. Утверждение доказано.
Рекомендации по оцениванию:
1. Верное обоснованное решение – 7 баллов,
2. Обоснование обратной теоремы Пифагора не требуется!
10.3. Существуют ли пять последовательных натуральных чисел, таких, что если к сумме этих чисел прибавить их произведение, то результат будет оканчиваться на 2013?
Решение. Пусть такие пять чисел существуют, и эти числа N −2, N −1, N, N +1, N +2. Заметим, среди пяти последовательных натуральных чисел есть число, делящееся на 5. Значит, их произведение делится на 5. Сумма этих пяти чисел равна 5N, то есть тоже делится на 5. Значит, если к сумме этих пяти чисел прибавить их произведение, то результат будет делиться на 5. Но число, заканчивающееся на 2011, на 5 не делится. Противоречие.
Ответ. Не существуют.
Рекомендации по оцениванию:
1. Верное обоснованное решение – 7 баллов,
2. Верный ответ без обоснования — 0 баллов.
10.4. Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A; из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности (С - точка касания). Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.
Решение. Пусть O – центр малой окружности, ∠OAC = ∠OCA = α. Поскольку BC – касательная к малой окружности, то ∠BCO = 90°. Следовательно,
∠ACD = ∠BCE = 90 – α.
Поскольку BA – диаметр большой окружности, то ∠BEA = 90°, откуда ∠EBD = 90 – (90° – α) = α. Поскольку вписанные углы EBD и EAB равны, то равны и дуги EB и ED.
Рекомендации по оцениванию:
1. Верное обоснованное решение – 7 баллов,
2. В решении могут также использоваться свойства угла между хордой и касательной.
10.5. а) Рассматриваются квадраты со сторонами, параллельными координатным осям, вершины которых имеют целочисленные координаты, принимающие значения от 0 до 5. Сколько существует различных квадратов, удовлетворяющих этим условиям?
б) Решите эту же задачу при условии, что координаты принимают значения от 0 до N, где N – некоторое натуральное число, большее 5.
Решение. А) Каждый квадрат однозначно идентифицируется своей левой нижней вершиной и длиной стороны. Из условия следует, что допустимы следующие длины сторон: 1, 2, 3, 4 и 5. Кроме этого, значения координат x и y рассматриваемых вершин должны быть как минимум на 1, 2, 3, 4 или 5 меньше максимального значения координаты – числа 5 (иначе самая дальняя вершина квадрата будет иметь координаты, большие 5). Таким образом, значения координат левых нижних углов квадратов со стороной 1 принимают значения от 0 до 4 – всего 25 различных комбинаций, квадратов со стороной 2: от 0 до 3 – всего 4х4=16 различных комбинаций, со стороной 3: от 0 до 2 – всего 3х3=9 различных комбинаций, со стороной 4: от 0 до 1 – всего 2х2=4 комбинаций, со стороной 5: единственная комбинация (0, 0). Таким образом, всего 25+16+9+4+1=55 комбинаций.
Б) Из приведенных выше рассуждений следует, что:
Квадратов со стороной 1: (N-1)x(N-1);
Квадратов со стороной 2: (N-2)x(N-2);
…………………………………………………….
Квадратов со стороной d: (N-d)x(N-d);
……………………………………………………..
Квадратов со стороной N-1: 2x2;
Квадратов со стороной N: 1x1.
Всего 1+4+…+(N-d)2+…+(N-2)2 +(N-1)2.
Ответ: а) 55, б) 1+4+…+(N-d)2+…+(N-2)2 +(N-1)2.
Рекомендации по оцениванию:
1. Верное обоснованное решение – 7 баллов,
2. Решен только случай а) – 3 балла,
3. Если в случае а) приведен только ответ без каких-либо обоснований и нет общего решения – 0 баллов.
4. Ответ в части б) может быть дан в словесной форме, например «сумма квадратов натуральных чисел от единицы до (N-1)», либо с использованием знака суммирования .