Решите уравнение
В ответе укажите целый корень. (2б)
Решение:
Ответ:1.
Решите систему уравнений
(2б)
Решение:
Пусть , xy=b, тогда
Имеем
Ответ: (3;1), (1;3).
При каких значениях параметра корни уравнения имеют одинаковые знаки. (3б)
Решение:
График уравнения представляет собой «уголок», стороны которого образуют углы 45◦ с осью абсцисс, а вершина находиться на оси х в точке с координатами (5; 0)
График уравнения представляет собой семейство прямых, параллельных оси х. Эти прямые должны пересекать «уголок» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки. Условие для параметра а определяется из системы неравенств
.
Следовательно, корни уравнения имеют одинаковые знаки, если .
Ответ:.
Задача.
Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно . Найдите эти дроби. (3б)
Решение:
Числители дробей: х, 2х, 5х (по условию задачи)
Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи)
Дроби:
Из условия задачи следует:
- первая дробь
- вторая дробь
- третья дробь
Ответ:
Задача.
В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% -ный раствор соляной кислоты? (4б)
Решение:
Пусть первый раз отлили л 100%-ной соляной кислоты, тогда в растворе её осталось (12-х) литров. Второй раз было отлито л жидкости, в которой содержалось л кислоты. В результате осталось л кислоты, что составляло л. Поэтому , откуда . Второй корень не подходит, так как в сосуд, вмещающий 12 литров нельзя влить 18 литров.
Ответ: 6 литров.
Задача.
Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым. (4б)
Решение:
Пусть и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них пару параллельных плоскостей и . Все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости , проведенной через одну из точек параллельно плоскостям и .
Задача.
В выпуклом четырехугольнике углы при вершинах и прямые, величина угла при вершине равна , , длина диагонали . Найти площадь этого четырехугольника. (5б)
Решение:
Обозначим угол через . Так как сумма внутренних углов любого четырехугольника равна , а три угла четырехугольника известны по условию задачи, то . Рассмотрим треугольник . Введем обозначение CD=x, тогда по теореме косинусов получим уравнение
.
Единственный положительный корень этого уравнения есть .
Выполним дополнительное построение: опустим из вершины С перпендикуляр на AD.
Из прямоугольного треугольника находим, что . По теореме Пифагора находим . Из прямоугольного треугольника BAD и очевидного равенства следует, что . .
Так как по условию задачи углы А и B прямые, то AD||BC и четырехугольник ABCD – трапеция.
.
Ответ: